Poissonverdeling
Evenals de binomiale verdeling heeft de Poissonverdeling betrekking op het tellen van successen [gebeurtenissen, registraties]. In tegenstelling tot de binomiaalverdeling en de normaalverdeling is er bij de Poissonverdeling in beginsel geen sprake van een steekproefomvang. Die wordt dus in feite heel groot verondersteld, en de kans op succes naar verhouding klein, en als gevolg daarvan is het produkt n x p [steekproefomvang . kans] gefixeerd. De Poissonverdeling wordt daarmee in feite alleen bepaald door de verwachtingswaarde lambda (gemiddelde aantal succesen per tijdseenheid). De factor tijd, in de vorm van de duur van de waarnemingsperiode, speelt dus een [belangrijke] rol in de Poissonverdeling.
Net zoals bij de binomiaalverdeling het geval was, beginnen ook de R-functies die je kunt gebruiken om eigenschappen van de Poissonverdeling uit te rekenen met een p-, q-, d-, of r- voor de 'basis' van de naam. Bij de Poissonverdeling heten de functies dan ppois, qpois, dpois, en rpois.
dpois is de R-functie die de kansfunctie van de poissonverdeling uitrekent. Optionele argumenten die de parameters voor de functie dpois specificeren kun je vinden op de overeenkomstige poissonverdeling-helppagina van R [bijvoorbeeld: lower.tail=TRUE; if TRUE (default), probabilities are P[X <= x], otherwise, P[X > x].
Beide onderstaande R opdrachten doen het zelfde (voorbeeld 7.1 Buijs):
> dpois(2,lambda=3)
[1] 0.2240418
> dpois(2,3)
[1] 0.2240418
Ze rekenen de kans uit op het vinden van een waarneming x gelijk aan 2, P(x = 2) wanneer x een Poissonverdeling volgt: Poisson(mu=3)
Voorbeeld 7.2 (Buijs)
Gegeven: k ~ Poisson(mu = 1.5)
Gevraagd: P(k = 3 | mu = 1.5)
Antwoord:
> dpois(3,1.5)
[1] 0.1255107
Voorbeeld 7.3a (Buijs)
Gegeven: k ~ Poisson(mu=6)
Gevraagd: P(k=4 | mu = 6)
Antwoord:
> dpois(4,6)
[1] 0.1338526
Voorbeeld 7.3b (Buijs)
Gegeven: k ~ Poisson(mu=3)
Gevraagd: P(k>3)
Antwoord: P(k>3) = P(k>=4) = 1- P(k<=3)
> 1-ppois(3,3)
[1] 0.3527681
Voorbeeld 7.7 (Buijs)
Gegeven: k ~ Poisson(mu=30)
Gevraagd: P(t>5) als lambda=0.5 (30 per uur = 0.5 per minuut)
Antwoord (gebruik de exponentiele verdeling):
> pexp(5, 0.5, lower.tail=F)
[1] 0.082085
Gevraagd: P(2 < t < 3)
Antwoord:
> pexp(2,0.5)-pexp(3,0.5)
[1] -0.1447493
Bron:
Buijs, A. - Statistiek om mee te werken. Stenfert Kroese, Groningen (2003)
Geyer, Ch. - Statistics 5102 - Examples: Probability Distributions in R
Klingens, D. - Kansrekening
Ravenstein, W. van - Wiswijzer - Poisson-verdeling
