Binomiaalverdeling.
Net zoals bij de normaalverdeling het geval was, beginnen ook de R-functies die je kunt gebruiken om eigenschappen van de binomiaalverdeling uit te rekenen met een p-, q-, d-, of r- voor de 'basis' van de naam. Bij de binomiaalverdeling zijn dat dan pbinom, qbinam, dbinom, en rbinom.
Punten
dbinom is de R-functie die de kansfunctie van de binomiaalverdeling uitrekent. Optionele argumenten die de parameters voor de functie dbinom specificeren kun je vinden op de overeenkomstige binomiaalverdeling-helppagina van R [bijvoorbeeld: lower.tail=TRUE; if TRUE (default), probabilities are P[X <= x], otherwise, P[X > x].
Beide onderstaande R opdrachten doen het zelfde:
> dbinom(27, size=100, prob=0.25)
[1] 0.08064075
> dbinom(27, 100, 0.25)
[1] 0.08064075
Ze rekenen de kans uit op het vinden van een waarneming x gelijk aan 27, P(x = 27) wanneer x een binomiaal verdeling volgt: Bin(100,0.25)
Voorbeeld 6.1.2 - Buijs p. 187:
Gegeven: k ~ Bin(n=3, pi=0.6)
Gevraagd: P(k = 2)
Antwoord:
> dbinom(2,3,0.6)
[1] 0.432
Voorbeeld 6.1 - Buijs p. 189:
Gegeven: k ~ Bin(n=6, pi=0.5)
Gevraagd: P(k = 0)
Antwoord:
> dbinom(0,6,0.5)
[1] 0.015625 [= 1/64]
Voorbeeld 6.2 - Buijs p. 190:
Gegeven: k ~ Bin(n=6, pi=0.2)
Gevraagd: P(k = 2)
Antwoord:
> dbinom(2,6,0.2)
[1] 0.24576
Voorbeeld:
Vraag: Gegeven is dat 80% van de populatie van alle Nederlanders van 50 jaar en ouder, brildragend is. Er worden twintig willekeurige Nederlanders van die populatie geloot. Hoe groot is de kans dat hierbij 16 brildragers zijn?
Ofwel, heel direct geformuleerd: Wat is P(x=16) als x ~ Bin(20, 0.8) ?
Antwoord:
> dbinom(16, 20, 0.8)
[1] 0.2181994
Nota Bene:
Dit soort vragen naar P(x=16) kunnen we in het geval van een normaalverdeling helemaal niet stellen omdat x in dat geval een continue verdeling heeft en de kans op x=16, of x is gelijk aan om het even welk getal, gewoon nul is.
Interval
pbinom is de R-functie die de verdelingsfunctie van de binomiaalverdeling uitrekent. Optionele argumenten die de parameters voor de functie pbinom specificeren kun je vinden op de overeenkomstige binomiaalverdeling-helppagina van R.
Beide onderstaande R opdrachten doen het zelfde:
> pbinom(27, size=100, prob=0.25)
[1] 0.7223805
> pbinom(27, 100, 0.25)
[1] 0.7223805
Ze rekenen de kans uit op het vinden van een waarneming x kleiner of gelijk aan 27, P(x <= 27) wanneer x een binomiaal verdeling volgt: Bin(100,0.25)
Let op het kleiner of gelijk teken <= ! Wanneer we te maken hebben met een discrete verdeling, zoals de binomiaalverdeling, is het onderscheid tussen P(x <= 27) en P(x = 27) belangrijk. Bij een normaalverdeling zou P(x = 27) gelijk zijn aan nul!
Voorbeeld:
Vraag: Gegeven is dat 80% van de populatie van alle Nederlanders van 50 jaar en ouder, brildragend is. Er worden twintig willekeurige Nederlanders van die populatie geloot. Hoe groot is de kans dat hierbij tenminste 16 brildragers zijn?
Ofwel, heel direct geformuleerd: Wat is P(x>=16) als x ~ Bin(20, 0.8) ?
Antwoord:
P(x>=16) komt overeen met 1 min de cumulatieve kans P(x <=15)
> 1-pbinom(15, 20, 0.8)
[1] 0.6296483
en ook met P(x<=4) voor tenminste 4 willekeurige Nederlanders zonder bril!
> pbinom(4,20,0.2)
[1] 0.6296483
Inverse Interval
qbinom is de R functie die de inverse van de verdelingsfunctie van de binomiaalverdeling uitrekent.
> qbinom(0.722, 100, 0.25)
[1] 27
qbinom geeft hier antwoord op de vraag om bij de gegeven [cumulatieve] kans P=0.722 de bijbehorende waarden van x inclusief de grenswaarde te vinden, wanneer geldt dat:
x ~ Bin(100, 0.25).
Bron:
Buijs, A. - Statistiek om mee te werken. Stenfert Kroese, Groningen (2003)
Geyer, Ch. - Statistics 5102 - Examples: Probability Distributions in R
Klingens, D. - Kansrekening
Ravenstein, W. van - Wiswijzer - Binomiale verdeling
